Henry Cavendish - Die Bestimmung der Masse der Erde

Henry Cavendish Die Bestimmung der Masse der Erde

Henry Cavendish (1731 - 1810) war ein britischer Naturwissenschaftler.

Zu seinen wichtigsten wissenschaftlichen Beiträgen zählen die Entdeckung des Wasserstoffs (1766) und die Erkenntnis, dass Wasserstoff zu Wasser verbrennt, dass also Wasser, dessen Zusammensetzung er 1781 entdeckte, kein Element ist.

Bestimmung der Gravitationskonstante

1797 führte Cavendish mit einer von John Michell entwickelten Drehwaage die erste Bestimmung der Gravitationskonstanten durch.

Die Gravitationskonstante bezeichnet die Anziehungskraft zweier punktförmiger Massen von je 1 Kilogramm in einer Entfernung von 1 Meter. Erst mit der Kenntnis von G konnten die Massen von Himmelskörpern präzise bestimmt werden.

Da sich die Masse der Erde M aus:

$M = {1 \over G} \, g \cdot R^2$

ergibt, wobei R der Erdradius, g die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche ist, wurde das Experiment auch als Wiegen der Erde bezeichnet (Cavendish betitelte seinen Originalaufsatz als Bestimmung der Erddichte).

Der Geologe John Michell hatte seinen Messapparat kurz vor seinem Tod 1793 fertiggestellt, selbst aber noch keine Messungen durchgeführt. Das Prinzip der Messung stammt zwar von Michell (in seinem Aufsatz betont Cavendish, dass Michell die Idee schon vor Coulomb hatte), Cavendish verbesserte den Apparat (den er über den Cambridge-Professor Wollaston von Michell „erbte“, aber dann völlig neu baute) aber wesentlich, um Störfaktoren auszuschalten, insbesondere den Einfluss kleinster Temperaturschwankungen. Zu diesem Zweck bediente und beobachtete Cavendish beispielsweise sein Experiment aus einem anderen Raum mit einem Fernrohr. Gemessen wurde die Winkel-Auslenkung eines an einem Torsionsfaden aufgehängten Balkens, an dessen zwei Enden sich kleine Bleikugeln befanden, die von sich in unmittelbarer Nähe befindlichen größeren Bleikugeln angezogen wurden. Die Kraft wurde nach dem Hookeschen Gesetz proportional zum Auslenkungswinkel angenommen, mit dem Torsionskoeffizienten als Proportionalitätsfaktor. Letzterer wurde aus der Eigenschwingungsperiode des am Torsionsfaden aufgehängten Balkens bestimmt.

Gravitationswaage

Die Gravitationswaage ist das Messinstrument in einem physikalischen Experiment zur Bestimmung der Gravitationskonstanten G , welche die Stärke des Feldes der Anziehung, die von einer Masse auf andere Massen ausgeht, festlegt. Sie gibt also ein Maß für die Stärke der Gravitation. 1798 benutzte Henry Cavendish eine solche Apparatur, um zum ersten Mal die Gravitationskonstante zu messen und damit die Masse der Erde bestimmen zu können. Allerdings ging es Cavendish darum, die mittlere Dichte der Erde zu bestimmen.

Im Wesentlichen handelt es sich dabei um eine Drehwaage. Dies bedeutet, dass der Betrag des Winkels, um den ein Draht aus seiner Ruheform verdreht wird, Auskunft über das wirkende Drehmoment gibt. Hieraus lässt sich die Kraft berechnen. Konkret: In der Mitte hängt ein Draht, an dem waagerecht ein Stab angebracht ist. An diesem sind in der Mitte ein Spiegel (parallel zum Draht) und zwei kleine Massen an den Enden befestigt. Davor steht eine Lichtquelle, die einen relativ schmalen Lichtstrahl (heutzutage meist ein Laser) emittiert. Dieser ist auf den Draht gerichtet und wird vom schmalen Spiegel an einen entfernten Schirm reflektiert. Findet nun eine Auslenkung der Massen aus der Ruhelage statt, dann kann man dies durch eine Verschiebung des abgebildeten Lichtpunktes feststellen.

Experiment

Vorbereitung:

Man muss die Hebellänge 2d, Entfernung zum Schirm L und die Masse m1 kennen.

Durchführung:

Man positioniert zwei große Massen m2 im gleichen Abstand von Massenmittelpunkt zu Massenmittelpunkt r, der möglichst senkrecht zum Stab sein sollte.
Die Massen ziehen sich an und der Stab dreht sich leicht, wonach er in eine gedämpfte Drehschwingung mikroskopischen Ausmaßes verfällt. Man beobachtet, wie sich der abgebildete Lichtpunkt um einen von der Ruhelage um dem Abstand S0 verschiedenen Punkt einpendelt.
Man misst diesen Abstand (und gegebenenfalls die Schwingungsdauer)
Man wiederholt den Versuch mit anderen Massen und Abständen zur Fehlerreduzierung

Rechnung

Drehmoment: Die Anziehung der Massen ist eine Kraft, diese bewirkt ein Drehmoment $M_1 = 2 G \frac{m_1 m_2}{r^2} d$ auf den Stab. (Genaugenommen gibt es auch ein entgegengesetztes Moment $M_2 = -M_1 \frac{r^3}{\sqrt{r^2+4d^2}^3}$ , welches durch Anziehung der kleinen Kugeln durch die weiter entfernt liegenden großen Kugeln zustande kommt). Der Verdrehung durch $M res = M 1 + M 2$ wirkt die Festigkeit des Drahtes entgegen, je größer der Drehwinkel θ wird, desto mehr Widerstand gibt es. Diese Gegenwirkung ist proportional zum Winkel $M_d = D \cdot \Theta$ , den Proportionalitätsfaktor $D$ nennt man Direktionsmoment.

Direktionsmoment: Man kann einen elastischen Stoff mit konstantem $D$ zu harmonischen Drehschwingungen anregen, dabei ist die Kreisfrequenz $w_o = \sqrt{D/I}$ nur abhängig von Festigkeit und Trägheitsmoment. Dieses berechnet sich hier einfach $I = 2 m 1 d 2$ . Aus $T = \frac{2 \pi}{w_o}$ folgt für die Schwingungsdauer $T = 2 \pi \sqrt{ \frac{I}{D} }$ . Also ist $D = \frac{4 \pi^2 I} {T^2}$ .

Auslenkung: Wie bei allen Spiegeln ist der Drehwinkel der Abbildung doppelt so groß wie der Drehwinkel des Spiegels. Wenn man einen leicht gewölbten Schirm annimmt, ist also der Winkel, um den der Draht gedreht wurde $\Theta = \frac{S_0}{2 L}$ .

Gleichgewicht: Im Gleichgewicht zwischen Anziehung und rücktreibender Kraft muss gelten $M res = M d$ . Also $2 \cdot G \frac{m_1 m_2}{r^2} \cdot \left(1 - \frac{r^3}{\sqrt{r^2+4d^2}^3}\right) d = \frac{4 \pi^2 2m_1 d^2}{T^2} \cdot \frac{S_0}{2 L}$ . Jetzt ist die Gravitationskonstante $G$ durch bloßes Umformen errechenbar. Letztendlich gilt dann

$G = \frac{\pi^2 I S_0 d r^2}{T^2 2 L m_2 d \left(1 - \frac{r^3}{\sqrt{r^2 + 4 d^2}^3}\right)}$

Text: Wikipedia (Der Text steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.)

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